Si estamos exentos de IVA, ¿tienen que hacernos factura con este impuesto?

La exención de IVA no es total y absoluta, sólo para aquellas actividades que forman parte de vuestro objeto social y sólo en la parte en que vosotros actuáis como prestadores de servicio. p.e. la venta de instrumentos musicales o de partituras, llevaría IVA, aunque el dinero se utilice en los fines de la asociación.
En el caso que cuentas, si el director musical se contrata como autónomo, deberíais pagarle IVA y retenerle IRPF. Habrá que liquidar el IRPF trimestralmente y pagar el IVA sin posibilidad de devolución del impuesto, precisamente por la exención que tenéis.
Ese IVA tiene la misma consideración que el incluído en el recibo de la luz o en la compra de material, no hay posibilidad de deducirlo/compensarlo salvo que esté relacionado con alguna actividad comercial no exenta.