¿Puede el tesorero de la Junta Directiva ser tesorero y secretario a la vez?

Pues depende de lo que establezcan los Estatutos.
En todo caso hay que distinguir la función de la persona. La función de Secretaría (llevanza de libros y dar fe de acuerdos y decisiones), así como la función de Tesorería (llevanza de contabilidad y custodia y movilización de fondos), siempre deben existir. Las personas que asuman dichas responsabilidades pueden llegar por elección directa de la Asamblea, por elección de la Asamblea encuadrados en una candidsatura colectiva, por reparto interno de los miembros de la Junta, etc.
Si que es posible la figura del Secretario-Tesorero, pero debe figurar en los Estatutos.
En caso de no tener nada establecido, la Junta Directiva supongo que provisionalmente podrá nombrar a uno de sus miembros, vocal o no, para dicho cometido, hasta subsanar la incidencia en la próxima Asamblea. Hay Asociaciones donde la Junta puede nombrar provisionalmente incluso a un socio no-miembro de la Junta, para mantener el Quorum y cumplir las funciones.

La ley establece los estatutos regulen “... Los órganos de gobierno y representación, su composición, reglas y procedimientos para la elección y sustitución de sus miembros, sus atribuciones, duración de los cargos, causas de su cese, la forma de deliberar, adoptar y ejecutar sus acuerdos y las personas o cargos con facultad para certificarlos y requisitos para que los citados órganos queden válidamente constituidos, así como la cantidad de asociados necesaria para poder convocar sesiones de los órganos de gobierno o de proponer asuntos en el orden del día.”

Eso deben establecer los estatutos de cada organización, pero para evitar conflictos se acrecomienda a que una persona ocupe uno de los dos cargos. Además el puesto de tesorero por su naturaleza, debe concentrar el 100% de atención de quien lo ocupa.

En Tal caso se debe dar paso a otro miembro del Directorio, pudiendo ser algún otro vocal sea principal o suplente