¿Podemos mantener un presidente y un secretario únicamente en la junta directiva y eliminar la figura del vicepresidente?

Podéis modificar los estatutos siempre y cuando se cumpla lo establecido en el articulo 7 y 16 La Ley Orgánica 1/2002, de 22 de marzo, reguladora del Derecho de Asociación.

Por tanto podéis suprimir el cargo de vicepresidente y presentar la dimisión el actual vicepresidente. Convocar una asamblea general extraordinaria para el nombramiento de secretario (para este puesto se presentaría como candidato el actual vicepresidente).
También es necesario que tengáis un tesorero, no habláis sobre este puesto en tu pregunta y es necesario, también se puede elegir en la misma asamblea general extraordinaria, siempre que figure en el orden del día.

Artículo 16. Modificación de los Estatutos.
1. La modificación de los Estatutos que afecte al contenido previsto en el artículo 7 requerirá acuerdo adoptado por la Asamblea General convocada específicamente con tal objeto, deberá ser objeto de inscripción en el plazo de un mes y sólo producirá efectos, tanto para los asociados como para los terceros, desde que se haya procedido a su inscripción en el Registro de Asociaciones correspondiente, rigiendo para la misma el sentido del silencio previsto en el artículo 30.1 de la presente Ley.
Las restantes modificaciones producirán efectos para los asociados desde el momento de su adopción con arreglo a los procedimientos estatutarios, mientras que para los terceros será necesaria, además, la inscripción en el Registro correspondiente.
2. La inscripción de las modificaciones estatutarias se sujetará a los mismos requisitos que la inscripción de los Estatutos
Artículo 7. Estatutos.
1. Los Estatutos deberán contener los siguientes extremos:
a) La denominación.
b) El domicilio, así como el ámbito territorial en que haya de realizar principalmente sus actividades.
c) La duración, cuando la asociación no se constituya por tiempo indefinido.
d) Los fines y actividades de la asociación, descritos de forma precisa.
e) Los requisitos y modalidades de admisión y baja, sanción y separación de los asociados y, en su caso, las clases de éstos. Podrán incluir también las consecuencias del impago de las cuotas por parte de los asociados.
f) Los derechos y obligaciones de los asociados y, en su caso, de cada una de sus distintas modalidades.
g) Los criterios que garanticen el funcionamiento democrático de la asociación.
h) Los órganos de gobierno y representación, su composición, reglas y procedimientos para la elección y sustitución de sus miembros, sus atribuciones, duración de los cargos, causas de su cese, la forma de deliberar, adoptar y ejecutar sus acuerdos y las personas o cargos con facultad para certificarlos y requisitos para que los citados órganos queden válidamente constituidos, así como la cantidad de asociados necesaria para poder convocar sesiones de los órganos de gobierno o de proponer asuntos en el orden del día.
i) El régimen de administración, contabilidad y documentación, así como la fecha de cierre del ejercicio asociativo.
j) El patrimonio inicial y los recursos económicos de los que se podrá hacer uso.
k) Causas de disolución y destino del patrimonio en tal supuesto, que no podrá desvirtuar el carácter no lucrativo de la entidad.
2. Los Estatutos también podrán contener cualesquiera otras disposiciones y condiciones lícitas que los promotores consideren convenientes, siempre que no se opongan a las leyes ni contradigan los principios configuradores de la asociación.
3. El contenido de los Estatutos no podrá ser contrario al ordenamiento jurídico

Teresa , si nos atenemos a la LODA la ley de asociación , lo único obligatorio es el Presiden y el secretario, a no ser que los estatutos contemplen otras figuras, estoy en una Entidad no lucrativa desde hace muchos años, es una entidad reconocida a nivel mundial y las Asambleas locales tienen Presidente y secretario, pero no tenemos tesorero.
La figura del tesorero no es obligatoria, pero si que alguien se haga responsable de las cuentas y suele ser el propio presidente.
En cuanto a ti Jaime, no hay ningún problema , el vicepresidente presenta su dimisión como tal y lo elegís como secretario. Suerte