¿Los datos que ponga en el registro de la asociación son públicos?

En efecto, el dato del domicilio social de una asociación es público, como otros datos que figuren en el registro (fecha de constitución, composición de la junta directiva y fecha de la última renovación, estatutos sociales, etc.)
Hay que tener en cuenta que la inscripción en el registro es voluntaria, y no obligatoria.
De hecho, tras dotarse de un acta fundacional y aprobar estatutos y junta gestora o directiva, la asociación ya tiene plena personalidad jurídica y capacidad de obrar, aunque en la práctica para la gran mayoría de las actividades de la vida diaria de una asociación (abrir cuentas bancarias, pedir subvenciones, etc.) se hace necesario estar registrada.
Lo del domicilio es algo que debes valorar. Hay que tener en cuenta que uno de los objetivos primarios del registro es la publicidad; por ello, además de la petición de datos que pueda hacer un particular, el propio registro puede difundir en su web o en otros formatos los datos de contacto de la asociación.
Por lo demás, poner el domicilio particular de un miembro de la directiva como domicilio social es una práctica muy extendida y que no suele acarrear ningún inconveniente.
Otra opción que tienes es solicitar a otra asociación, o a una entidad pública (normalmente ayuntamiento) que puedas utilizar el domicilio de un centro social como domicilio social.
Valora tu mismo y decide. ¡Y ánimo con la labor!

Muchísimas gracias a los dos por vuestras respuestas, pero Xosé me ha dejado pensando en algo que no entiendo, dices:
“Hay que tener en cuenta que la inscripción en el registro es voluntaria, y no obligatoria”

¿Quieres decir que podemo shacer unos estatutos y actuar como asociación sin estar registrados? Pero si quiere CIF para abrir una cuenta bancaria por ejemplo o para hacer una denuncia en nombre de la asociación, entonces sí debería estar registrada ¿no? A ver si lo he entendido ;)

En respuesta a la pregunta concreta que me haces, reitero lo dicho, en relación a que la inscripción en el registro es voluntaria, y puede actuarse y realizar actividades sin estar inscrito en registro alguno, pues tras el acta fundacional la entidad tiene ya plena personalidad jurídica. No es obligatorio, por tanto.

En cuanto al CIF entiendo que se puede obtener sin la inscripción en registro. En cuanto a la cuenta bancaria, ya lo veo más dificil. Y en cuanto a pedir subvenciones, prácticamente ninguna administración concederá subvenciones a una entidad no inscrita en ningún registro.
Es decir, que en el plano práctico sí es necesario estar en algún registro (y muchas veces en varios).