¿Está exenta del impuesto sobre trasmisiones y AJD una fundación que no esté acogida al Régimen fiscal especial Ley 49/2002?

No, no lo está. El Régimen fiscal previsto en la Ley 49/2002 es el único que otorga las exenciones de las haciendas locales (AJD) derogando todo las exenciones previstas anterior a la entrada en vigor de la Ley.

Cosa distinta es que se pueda solicitar a un determinado organismo público la exoneración de determinadas tasas. pero como algo rogado y no subjetivo.

Saludos