¿Cómo puede la ONG pudiera hacerme un contrato de trabajo ejerciendo mi trabajo en Bolivia y qué derechos y obligaciones tendría?

La respuesta más detallada a tu pregunta la puedes encontrar en el siguiente enlace:
http://www.seg-social.es/Internet_1/Masinformacion/Internacional/ConvMultIber/TrabDespMIber/index.htm

Perdona el link correcto es:
http://www.seg-social.es/Internet_1/Masinformacion/Internacional/ConvMultIber/TrabDespMIber
Extracto de la respuesta:
Trabajadores desplazados
Aunque conforme a lo previsto en su artículo 33, el Acuerdo de aplicación del Convenio Multilateral Iberoamericano de Seguridad Social entró en vigor el 1 de septiembre de 2011 entre Brasil, Bolivia, Chile, Ecuador, España, El Salvador, Paraguay y Uruguay, a efectos de determinar la legislación aplicable a los trabajadores desplazados sólo se aplica para Bolivia, El Salvador y Chile. En este último caso para los trabajadores con nacionalidad diferente a la española o chilena.
Para los trabajadores desplazados a Brasil, Ecuador, Paraguay y Uruguay se siguen aplicando las disposiciones establecidas en los convenios bilaterales de seguridad social suscritos con España.
En el caso de Chile se mantienen las disposiciones establecidas en el Convenio bilateral de Seguridad Social de 28 de enero de 1997 para los trabajadores nacionales de España o Chile.
Como norma general, los trabajadores a quienes sea aplicable el presente Convenio estarán sujetos exclusivamente a la legislación de seguridad social del Estado Parte en cuyo territorio ejerzan una actividad, ya sea por cuenta ajena o por cuenta propia, que dé lugar a su inclusión en el ámbito de aplicación de dicha legislación.
Ahora bien, si se trata de un traslado temporal pueden mantener la legislación española de Seguridad Social en los términos y requisitos que se indican a continuación.
Se aplica a los trabajadores por cuenta ajena y por cuenta propia de cualquier nacionalidad.